Put-Call-Parität

Was ist Put-Call-Parität?

Der Put-Call-Paritätssatz besagt, dass die Prämie (der Preis) einer Call-Option einen bestimmten fairen Preis für entsprechende Put-Optionen impliziert, vorausgesetzt, die Put-Optionen haben den gleichen Ausübungspreis, den gleichen Basiswert und den gleichen Verfall und umgekehrt. Es zeigt auch die dreiseitige Beziehung zwischen einem Call, einem Put und dem zugrunde liegenden Wertpapier. Die Theorie wurde erstmals 1969 von Hans Stoll identifiziert.

Put-Call-Paritätsbeispiel

Schauen wir uns zwei Portfolios eines Anlegers an:

Portfolio A: Eine europäische Call-Option für einen Ausübungspreis von 500 USD / - mit einer Prämie oder einem Preis von 80 USD / - und zahlt keine Dividende (die Auswirkungen der Dividende werden später in diesem Papier erörtert) und eine Nullkupon-Anleihe (die nur zahlt) Kapital zum Zeitpunkt der Fälligkeit), das bei Fälligkeit Rs.500 / - (oder den Ausübungspreis von Call-Optionen) zahlt, und

Portfolio B: Basiswerte, auf die Call-Optionen geschrieben sind, und europäische Put-Optionen mit einem identischen Ausübungspreis von 500 USD / - und einer Prämie von 80 USD / - und einem identischen Verfallsdatum.

Um die Auszahlungen aus beiden Portfolios zu berechnen, betrachten wir zwei Szenarien:

  1. Der Aktienkurs steigt und schließt bei 600 USD / - zum Zeitpunkt der Fälligkeit eines Optionskontrakts.
  2. Der Aktienkurs ist gefallen und schließt zum Zeitpunkt der Fälligkeit eines Optionskontrakts bei 400 USD / -. 

Auswirkungen auf Portfolio A in Szenario 1: Portfolio A ist die Nullkupon-Anleihe wert, dh 500 USD / - plus 100 USD / - aus der Auszahlung von Call-Optionen, dh maximal (S T -X, 0). Daher ist Portfolio A zum Zeitpunkt T den Aktienkurs (S T ) wert .

Auswirkungen auf Portfolio A in Szenario 2: Portfolio A ist den Aktienkurs wert, dh 500 USD / -, da der Aktienkurs unter dem Ausübungspreis liegt (er ist aus dem Geld), werden die Optionen nicht ausgeübt. Daher ist Portfolio A zum Zeitpunkt T den Aktienkurs (S T ) wert .

Ebenso werden wir für Portfolio B die Auswirkungen beider Szenarien analysieren.

Auswirkungen auf Portfolio B in Szenario 1: Portfolio B ist den Aktienkurs oder Aktienkurs wert, dh 600 USD / -, da der Aktienkurs unter dem Ausübungspreis (X) liegt und für die Ausübung wertlos ist. Daher ist Portfolio B zum Zeitpunkt T den Aktienkurs (S T ) wert .

Auswirkungen auf Portfolio B in Szenario 2: Portfolio B ist die Differenz zwischen dem Ausübungspreis und dem Aktienkurs, dh 100 USD / - und dem zugrunde liegenden Aktienkurs, dh 400 USD / -, wert. Daher ist Portfolio B zum Zeitpunkt T einen Ausübungspreis (X) wert.

Die obigen Auszahlungen sind nachstehend in Tabelle 1 zusammengefasst.

Tabelle 1

Wenn S T > X.Wenn S T <X
Portfolio A.Zero-Coupon-Anleihe500500
Anrufoption100*0
Gesamt600500
Portfolio B.Basiswert (Aktie)600400
Put-Option0100#
Gesamt600500

* Die Auszahlung einer Call-Option = max (S T -X, 0)

# Die Auszahlung einer Put-Option = max (X-S T , 0)

In der obigen Tabelle können wir unsere Ergebnisse zusammenfassen, dass, wenn der Aktienkurs höher als der Ausübungspreis (X) ist, die Portfolios den Aktien- oder Aktienkurs (S T ) wert sind und wenn der Aktienkurs niedriger als der Ausübungspreis ist, die Portfolios sind den Ausübungspreis wert (X). Mit anderen Worten, beide Portfolios sind maximal wert (S T , X).

Portfolio A: Wenn S T > X, ist es S T wert ,

Portfolio B: Wenn S T <X, ist es X wert

Da beide Portfolios zum Zeitpunkt T identische Werte haben, müssen sie heute ähnliche oder identische Werte haben (da die Optionen europäisch sind, können sie nicht vor dem Zeitpunkt T ausgeübt werden). Und wenn dies nicht zutrifft, würde ein Arbitrageur diese Arbitrage-Gelegenheit nutzen, indem er das billigere Portfolio kauft und das teurere verkauft und einen Arbitrage-Gewinn (ohne Risiko) verbucht.

Dies bringt uns zu dem Schluss, dass Portfolio A heute gleich Portfolio B sein sollte oder

C 0 + X * er * t = P 0 + S 0

Arbitrage-Gelegenheit durch Put-Call-Parität

Nehmen wir ein Beispiel, um die Arbitrage-Möglichkeit durch Put-Call-Parität zu verstehen.

Angenommen, der Aktienkurs eines Unternehmens beträgt 80 USD / -, der Ausübungspreis 100 USD / -, die Prämie (Preis) einer sechsmonatigen Call-Option 5 USD / - und die einer Put-Option 3,5 USD / -. Der risikofreie Zinssatz in der Wirtschaft beträgt 8% pro Jahr.

Nun wäre gemäß der obigen Gleichung der Put-Call-Parität der Wert der Kombination des Call-Optionspreises und des Barwerts des Strikes:

C 0 + X * e - r * t = 5 + 100 * e - 0,08 * 0,5

= 101,08

Und der Wert der Kombination aus Put-Option und Aktienkurs ist

P 0 + S 0 = 3,5 + 80

= 83,5

Hier sehen wir, dass das erste Portfolio überteuert ist und verkauft werden kann (ein Arbitrageur kann eine Short-Position in diesem Portfolio schaffen) und das zweite Portfolio relativ billiger ist und vom Anleger gekauft werden kann (Arbitrageur kann eine Long-Position schaffen) um Arbitrage-Gelegenheit zu nutzen.

Diese Arbitrage-Möglichkeit beinhaltet den Kauf einer Put-Option und eines Anteils am Unternehmen sowie den Verkauf einer Call-Option.

Lassen Sie uns dies weiter verfolgen, indem wir die Call-Option kurzschließen und eine Long-Position in der Put-Option zusammen mit der Aktie schaffen. Dies würde erfordern, dass die unten berechneten Mittel von einem Arbitrageur zu einem risikofreien Zinssatz geliehen werden, d. H.

= -5 + 3,5 + 80

= 78,5

Daher würde der Arbitrageur einen Betrag von 78,5 USD ausleihen, der nach sechs Monaten zurückgezahlt werden muss. Daher wäre der Rückzahlungsbetrag

= 78,5 * e0,08 * 0,5

= 81,70

Nach sechs Monaten wäre entweder die Put- oder die Call-Option im Geld und wird ausgeübt, und Arbitrageur würde 100 USD / - davon erhalten. Die Short-Call- und Long-Call-Put-Optionsposition würde daher dazu führen, dass die Aktie für 100 USD / - verkauft wird. Daher beträgt der vom Arbitrageur erzielte Nettogewinn

= 100 - 81,70

= 18,30 USD

Die oben genannten Zahlungsströme sind in Tabelle 2 zusammengefasst:

Tabelle 2

Schritte in der Arbitrage-PositionKosten verbunden
Leihen Sie sich sechs Monate lang 78,5 USD aus und schaffen Sie eine Position, indem Sie eine Call-Option für 5 USD / - verkaufen und eine Put-Option für 3,5 USD / - zusammen mit einer Aktie für 80 USD / - kaufen.

dh (80 + 3,5-5)

-81,7
Wenn der Aktienkurs nach sechs Monaten über dem Ausübungspreis liegt, wird die Call-Option ausgeübt, und wenn sie unter dem Ausübungspreis liegt, wird die Put-Option ausgeübt100
Nettogewinn (+) / Nettoverlust (-)18.3

Die andere Seite der Put-Call-Parität

Der Put-Call-Paritätssatz gilt nur für Optionen im europäischen Stil, da Optionen im amerikanischen Stil jederzeit vor Ablauf ausgeübt werden können.

Die Gleichung, die wir bisher untersucht haben, ist

C 0 + X * e - r * t = P 0 + S 0

Diese Gleichung wird auch als Treuhandruf bezeichnet und entspricht Protective Put.

Hier wird die linke Seite der Gleichung als Treuhand-Call bezeichnet, da ein Anleger bei der Treuhand-Call-Strategie seine mit der Ausübung der Call-Option verbundenen Kosten begrenzt (in Bezug auf die Gebühr für den anschließenden Verkauf eines Basiswerts, der bei Ausübung des Call physisch geliefert wurde ).

Die rechte Seite der Gleichung heißt Protective Put, da ein Anleger in einer Protective Put-Strategie eine Put-Option zusammen mit einer Aktie (P 0 + S 0 ) kauft . Falls die Aktienkurse steigen, kann der Anleger sein finanzielles Risiko durch den Verkauf von Aktien des Unternehmens minimieren und sein Portfolio schützen. Falls die Aktienkurse fallen, kann er seine Position durch Ausübung der Put-Option schließen.

Zum Beispiel : -

Angenommen, der Ausübungspreis beträgt 70 USD / -, der Aktienkurs 50 USD / -, die Prämie für die Put-Option 5 USD / - und die für die Call-Option 15 USD / -. Angenommen, der Aktienkurs steigt auf 77 USD / -.

In diesem Fall wird der Anleger seine Put-Option nicht ausüben, da dieselbe aus dem Geld ist, sondern seine Aktie zum aktuellen Marktpreis (CMP) verkaufen und die Differenz zwischen CMP und dem anfänglichen Aktienkurs, dh Rs.7 /, verdienen. -. Wäre dem Anleger nicht zusammen mit der Put-Option eine Socke gekauft worden, hätte er am Ende den Verlust seiner Prämie für den Optionskauf erlitten.

Bestimmen von Call-Optionen und Put-Optionen-Prämie

Wir können die obige Gleichung auf zwei verschiedene Arten umschreiben, wie unten erwähnt.

  • P 0 = C 0 + X * e - r * t - S und
  • C 0 = P 0 + S 0 -X * e -r * t

Auf diese Weise können wir den Preis einer Call-Option und einer Put-Option bestimmen.

Nehmen wir zum Beispiel an, dass der Preis eines XYZ-Unternehmens bei Rs.750 / - gehandelt wird. Die sechsmonatige Call-Option-Prämie beträgt Rs.15 / - für den Ausübungspreis von Rs.800 / -. Was wäre die Prämie für die Put-Option bei einem risikofreien Zinssatz von 10%?

Gemäß der oben in Punkt Nr. 1 erwähnten Gleichung,

P 0 = C 0 + X * e -r * t- S

= 15 + 800 * e-0,10 * 0,05-750

= 25,98

Nehmen wir ebenfalls an, dass im obigen Beispiel die Put-Optionsprämie als 50 USD anstelle der Call-Option-Prämie angegeben wird und wir die Call-Option-Prämie bestimmen müssen.

C 0 = P 0 + S 0 -X * e -r * t

= 50 + 750-800 * e-0,10 * 0,05

= 39,02

Einfluss von Dividenden auf die Put-Call-Parität

Bisher haben wir in unseren Studien angenommen, dass für die Aktie keine Dividende ausgeschüttet wird. Das nächste, was wir berücksichtigen müssen, ist daher die Auswirkung der Dividende auf die Put-Call-Parität.

Da Zinsen für einen Anleger, der Mittel zum Kauf von Aktien leiht, Kosten sind, profitieren sie für den Anleger, der die Aktien oder Wertpapiere durch Anlage der Mittel kurzschließt.

Hier werden wir untersuchen, wie die Put-Call-Paritätsgleichung angepasst würde, wenn die Aktie eine Dividende zahlt. Wir gehen auch davon aus, dass die Dividende bekannt ist, die während der Laufzeit der Option gezahlt wird.

Hier würde die Gleichung mit dem Barwert der Dividende angepasst. Zusammen mit der Call-Option-Prämie entspricht der vom Anleger zu investierende Gesamtbetrag dem Barwert einer Nullkupon-Anleihe (der dem Ausübungspreis entspricht) und dem Barwert der Dividende. Hier nehmen wir eine Anpassung der Treuhand-Call-Strategie vor. Die angepasste Gleichung wäre

C 0 + (D + X * e - r * t ) = P 0 + S wobei

D = Barwert der Dividenden während der Laufzeit von

Passen wir die Gleichung für beide Szenarien an.

Angenommen, die Aktie zahlt dann 50 USD / - als Dividende, dann wäre die bereinigte Put-Optionsprämie

P 0 = C 0 + (D + X * e - r * t ) - S 0

   = 15+ (50 * e-0,10 * 0,5 + 800 * e-0,10 * 0,5) -750

= 73,54

Wir können die Dividenden auch auf andere Weise anpassen, was den gleichen Wert ergibt. Der einzige grundlegende Unterschied zwischen diesen beiden Möglichkeiten besteht darin, dass wir in der ersten den Betrag der Dividende zum Ausübungspreis addiert haben, in der anderen den Dividendenbetrag direkt aus der Aktie angepasst haben.

P 0 = C 0 + X * e - r * t - S 0 - (S 0 * e - r * t ),

In der obigen Formel haben wir den Betrag der Dividende (PV der Dividenden) direkt vom Aktienkurs abgezogen. Schauen wir uns die Berechnung anhand dieser Formel an

= 15 + 800 * e-0,10 * 0,5-750- (50 * e-0,10 * 0,5)

= 73,54

Abschließende Bemerkungen

  • Die Put-Call-Parität stellt die Beziehung zwischen den Preisen europäischer Put-Optionen und Call-Optionen mit denselben Ausübungspreisen, Ablauf und Basiswert her.
  • Die Put-Call-Parität gilt nicht für die amerikanische Option, da eine amerikanische Option jederzeit vor Ablauf ausgeübt werden kann.
  • Die Gleichung für die Put-Call-Parität lautet C 0 + X * er * t = P 0 + S 0 .
  • In der Put-Call-Parität entspricht der Treuhandruf dem Protective Put.
  • Die Put-Call-Paritätsgleichung kann verwendet werden, um den Preis für europäische Call- und Put-Optionen zu bestimmen
  • Die Put-Call-Paritätsgleichung wird angepasst, wenn die Aktie Dividenden zahlt.