Normalverteilungsformel

Normalverteilungsformel

Die Normalverteilung ist eine symmetrische Verteilung, dh positive Werte, und die negativen Werte der Verteilung können in gleiche Hälften geteilt werden, und daher sind Mittelwert, Median und Modus gleich. Es hat zwei Schwänze, von denen einer als rechter Schwanz und der andere als linker Schwanz bekannt ist.

Die Formel für die Berechnung kann wie folgt dargestellt werden

X ~ N (u, α)

Wo

• N = Anzahl der Beobachtungen
• µ = Mittelwert der Beobachtungen
• α = Standardabweichung

In den meisten Fällen zeigen die Beobachtungen in ihrer Rohform nicht viel. Es ist daher sehr wichtig, die Beobachtungen zu standardisieren, um dies vergleichen zu können. Dies geschieht mit Hilfe der Z-Score-Formel. Es ist erforderlich, den Z-Score für eine Beobachtung zu berechnen.

Die Gleichung für die Z-Score-Berechnung für die Normalverteilung wird wie folgt dargestellt:

Z = (X - u) / α

Wo

• Z = Z-Score der Beobachtungen
• µ = Mittelwert der Beobachtungen
• α = Standardabweichung

Erläuterung

Eine Verteilung ist normal, wenn sie einer Glockenkurve folgt. Es ist als Glockenkurve bekannt, da es die Form der Glocke annimmt. Eine der wichtigsten Eigenschaften einer normalen Kurve ist, dass sie symmetrisch ist, was bedeutet, dass die positiven und negativen Werte der Verteilung in gleiche Hälften geteilt werden können. Ein weiteres sehr wichtiges Merkmal der Variablen ist, dass die Beobachtungen innerhalb von 1 Standardabweichung vom Mittelwert in 90% der Fälle liegen. Die Beobachtungen sind zwei Standardabweichungen vom Mittelwert in 95% der Fälle und liegen innerhalb von drei Standardabweichungen vom Mittelwert in 99% der Fälle.

Beispiele

Sie können diese Excel-Vorlage für Normalverteilungsformeln hier herunterladen - Excel-Vorlage für Normalverteilungsformeln

Beispiel 1

Der Mittelwert der Gewichte einer Klasse von Schülern beträgt 65 kg und der Standard des Gewichts beträgt 0,5 kg. Wenn wir davon ausgehen, dass die Verteilung der Rendite normal ist, lassen Sie uns das Gewicht der Schüler in der Klasse interpretieren .

Wenn eine Verteilung normal ist, liegen 68% innerhalb einer Standardabweichung, 95% innerhalb von 2 Standardabweichungen und 99% innerhalb von 3 Standardabweichungen.

Gegeben,

• Die durchschnittliche Rendite für das Gewicht beträgt 65 kg
• Die Standardabweichung beträgt 3,5 kg

In 68% der Fälle liegt der Wert der Verteilung im folgenden Bereich:

• Oberer Bereich = 65 + 3,5 = 68,5
• Unterer Bereich = 65-3,5 = 61,5
• Jeder Schwanz wird (68% / 2) = 34%

Beispiel 2

Fahren wir mit demselben Beispiel fort. Der Mittelwert der Gewichte einer Klasse von Schülern beträgt 65 kg und der Standard des Gewichts beträgt 3,5 kg. Wenn wir davon ausgehen, dass die Verteilung der Rendite normal ist, lassen Sie uns dies für das Gewicht der Schüler in der Klasse interpretieren.

Gegeben,

• Die durchschnittliche Rendite für das Gewicht beträgt 65 kg
• Die Standardabweichung beträgt 3,5 kg

In 95% der Fälle liegt der Wert der Verteilung im folgenden Bereich:

• Oberer Bereich = 65 + (3,5 * 2) = 72
• Unterer Bereich = 65- (3,5 * 2) = 58
• Jeder Schwanz wird (95% / 2) = 47,5%

Beispiel 3

Fahren wir mit demselben Beispiel fort. Der Mittelwert der Gewichte einer Klasse von Schülern beträgt 65 kg und der Standard des Gewichts beträgt 3,5 kg. Wenn wir davon ausgehen, dass die Verteilung der Rendite normal ist, lassen Sie uns dies für das Gewicht der Schüler in der Klasse interpretieren.

Gegeben,

• Die durchschnittliche Rendite für das Gewicht beträgt 65 kg
• Die Standardabweichung beträgt 3,5 kg

In 99% der Fälle liegt der Wert der Verteilung im folgenden Bereich:

• Oberer Bereich = 65+ (3,5 * 3) = 75,5
• Unterer Bereich = 65- (3,5 * 3) = 54,5
• Jeder Schwanz wird (99% / 2) = 49,5%

Relevanz und Verwendung

Die Normalverteilung ist ein sehr wichtiges statistisches Konzept, da die meisten Zufallsvariablen in der Finanzwelt einer solchen Kurve folgen. Es spielt eine wichtige Rolle beim Aufbau von Portfolios. Abgesehen von der Finanzierung folgen viele reale Parameter einer solchen Verteilung. Wenn wir beispielsweise versuchen, die Größe der Schüler in einer Klasse oder das Gewicht der Schüler in einer Klasse zu ermitteln, werden die Beobachtungen normal verteilt. In ähnlicher Weise folgen auch die Noten einer Prüfung der gleichen Verteilung. Es ist hilfreich, die Noten in einer Prüfung zu normalisieren, wenn die meisten Schüler unter den bestandenen Noten liegen, indem sie nur diejenigen festlegen, die nicht bestanden haben und unter zwei Standardabweichungen liegen.