Binomialverteilungsformel

Formel zur Berechnung der Binomialverteilung

Die Binomialverteilungsformel wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, x Erfolge in den n Versuchen des Binomialversuchs zu erzielen, die unabhängig sind, und die Wahrscheinlichkeit wird durch Kombination zwischen der Anzahl der Versuche und der Anzahl der durch nCx dargestellten Erfolge abgeleitet, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit des erzielten Erfolgs zur Potenz der Anzahl der durch px dargestellten Erfolge, die weiter mit der Wahrscheinlichkeit des Versagens multipliziert wird, die zur Potenz der Differenz zwischen der Anzahl der Erfolge und der Anzahl der durch (1-p) nx dargestellten Versuche erhoben wird.

Die Wahrscheinlichkeit, in n unabhängigen Versuchen eines Binomialversuchs x Erfolge zu erzielen, ergibt sich aus der folgenden Formel der Binomialverteilung:

P (X) = n C x px (1-p) nx

Dabei ist p die Erfolgswahrscheinlichkeit

In der obigen Gleichung wird n C x verwendet, was nichts anderes als eine Kombinationsformel ist. Die Formel zur Berechnung von Kombinationen lautet n C x = n! / x! (nx)!  Dabei steht n für die Anzahl der Elemente (unabhängige Versuche) und x für die Anzahl der gleichzeitig ausgewählten Elemente (Erfolge).

Im Fall n = 1 in einer Binomialverteilung ist die Verteilung als Bernoulli-Verteilung bekannt. Der Mittelwert einer Binomialverteilung ist np. Die Varianz der Binomialverteilung beträgt np (1-p).

Berechnung der Binomialverteilung (Schritt für Schritt)

Die Berechnung der Binomialverteilung kann mithilfe der folgenden vier einfachen Schritte abgeleitet werden:

  • Schritt 1: Berechnen Sie die Kombination zwischen der Anzahl der Versuche und der Anzahl der Erfolge. Die Formel für n C x lautet wo n! = n * (n-1) * (n-2). . . * 2 * 1. Für eine Zahl n kann die Fakultät von n wie folgt geschrieben werden: n! = n * (n-1)! Zum Beispiel 5! ist 5 * 4 * 3 * 2 * 1
  • Schritt 2: Berechnen Sie die Erfolgswahrscheinlichkeit, die sich aus der Anzahl der Erfolge ergibt, die px sind.
  • Schritt 3: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit eines Misserfolgs, die sich aus der Differenz zwischen der Anzahl der Erfolge und der Anzahl der Versuche ergibt. Die Ausfallwahrscheinlichkeit beträgt 1-p. Dies bezieht sich also auf das Erhalten von (1-p) nx
  • Schritt 4: Finden Sie das Produkt der in Schritt 1, Schritt 2 und Schritt 3 erhaltenen Ergebnisse heraus.

Beispiele

Sie können diese Binomialverteilungsformel-Excel-Vorlage hier herunterladen - Binomialverteilungsformel-Excel-Vorlage

Beispiel 1

Die Anzahl der Versuche (n) beträgt 10. Die Erfolgswahrscheinlichkeit (p) beträgt 0,5. Berechnen Sie die Binomialverteilung, um die Wahrscheinlichkeit für genau 6 Erfolge zu berechnen.

Lösung:

Verwenden Sie die folgenden Daten zur Berechnung der Binomialverteilung.

Die Berechnung der Binomialverteilung kann wie folgt erfolgen:

P (x = 6) = 10 C 6 * (0,5) 6 (1-0,5) 10-6

                = (10! / 6! (10-6)!) * 0,015625 * (0,5) 4

               = 210 * 0,015625 * 0,0625

Wahrscheinlichkeit, genau 6 Erfolge zu  erzielen, wird

P (x = 6) = 0,205

Die Wahrscheinlichkeit, genau 6 Erfolge zu erzielen, beträgt 0,2051

Beispiel 2

Ein Manager einer Versicherungsgesellschaft geht die Daten der Versicherungspolicen durch, die von unter ihm tätigen Versicherungsverkäufern verkauft wurden. Er stellt fest, dass 80% der Personen, die eine Kfz-Versicherung abschließen, Männer sind. Er möchte herausfinden, dass bei einer zufälligen Auswahl von 8 Kfz-Versicherungsnehmern die Wahrscheinlichkeit besteht, dass genau 5 von ihnen Männer sind.

Lösung: Wir müssen zuerst herausfinden, was n, p und x sind.

Die Berechnung der Binomialverteilung kann wie folgt erfolgen:

P (x = 5) = 8 C 5 * (0,8) 5 (1-0,8) 8-5

               = (8! / 5! (8-5)!) * 0,32768 * (0,2) 3

              = 56 * 0,32768 * 0,008

Wahrscheinlichkeit von genau 5 Erfolgen  wird

P (x = 5) = 0,14680064

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 5 Kfz-Versicherungsnehmer Männer sind, beträgt 0,14680064.

Beispiel 3

Das Krankenhausmanagement freut sich über die Einführung eines neuen Arzneimittels zur Behandlung von Krebspatienten, da die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person erfolgreich damit behandelt wird, sehr hoch ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient erfolgreich mit dem Medikament behandelt wird, beträgt 0,8. Das Medikament wird 10 Patienten verabreicht. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass 9 oder mehr Patienten erfolgreich damit behandelt werden.

Lösung: Wir müssen zuerst herausfinden, was n, p und x ist.

Wir müssen die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass 9 oder mehr Patienten erfolgreich damit behandelt werden. Somit werden entweder 9 oder 10 Patienten erfolgreich damit behandelt

x (Zahl, für die Sie die Wahrscheinlichkeit finden müssen) = 9 oder x = 10

Wir müssen P (9) und P (10) finden

Die Berechnung der Binomialverteilung zum Finden von P (x = 9) kann wie folgt erfolgen:

P (x = 9) = 10 C 9 * (0,8) 9 (1-0,8) 10-9

               = (10! / 9! (10-9)!) * 0,134217728 * (0,2)

               = 10 * 0,134217728 * 0,2

Die Wahrscheinlichkeit von 9 Patienten  wird

P (x = 9) = 0,2684

Die Berechnung der Binomialverteilung zum Finden von P (x = 10) kann wie folgt erfolgen:

P (x = 10) = 10 C 10 * (0,8) 10 (1-0,8) 10-10

                  = (10! / 10! (10-10)!) * 0,107374182 * (0,2) 0

                  = 1 * 0,107374182 *

Die Wahrscheinlichkeit von 10 Patienten  wird

P (x = 10) = 0,1074

Daher ist P (x = 9) + P (x = 10) = 0,268 + 0,1074

= 0,3758

Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass 9 oder mehr Patienten mit dem Medikament behandelt werden, 0,375809638.  

Binomialverteilungsrechner

Sie können den folgenden Binomialverteilungsrechner verwenden.

n
p
x
Binomialverteilungsformel =
 

Binomialverteilungsformel =n C x * px * (1-p) nx
0 C 0 * 0 0 * (1 - 0) 0 - 0 =0

Relevanz und Verwendung

  • Es gibt nur zwei Ergebnisse
  • Die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses bleibt von Versuch zu Versuch konstant
  • Es gibt eine feste Anzahl von Versuchen
  • Jeder Versuch ist unabhängig, dh er schließt sich gegenseitig aus
  • Es liefert uns die Häufigkeitsverteilung der möglichen Anzahl erfolgreicher Ergebnisse in einer bestimmten Anzahl von Studien, wobei jede dieser bestimmten Studien die gleiche Erfolgswahrscheinlichkeit aufweist.
  • Jeder Versuch in einem Binomialversuch kann zu nur zwei möglichen Ergebnissen führen. Daher ist der Name "Binomial". Eines dieser Ergebnisse ist als Erfolg und das andere als Misserfolg bekannt. Zum Beispiel können Menschen, die krank sind, auf eine Behandlung ansprechen oder nicht.
  • In ähnlicher Weise können wir beim Werfen einer Münze nur zwei Arten von Ergebnissen erzielen: Kopf oder Zahl. Die Binomialverteilung ist eine diskrete Verteilung, die in der Statistik verwendet wird und sich von einer kontinuierlichen Verteilung unterscheidet.

Ein Beispiel für ein Binomial-Experiment ist das dreimalige Werfen einer Münze. Wenn wir eine Münze werfen, sind nur zwei Ergebnisse möglich - Kopf und Zahl. Die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis beträgt 0,5. Da die Münze dreimal geworfen wird, ist die Anzahl der Versuche auf 3 festgelegt. Die Wahrscheinlichkeit jedes Wurfs wird nicht durch andere Würfe beeinflusst.

Die Binomialverteilung findet ihre Anwendung in der sozialwissenschaftlichen Statistik. Es wird zur Entwicklung von Modellen für dichotome Ergebnisvariablen verwendet, bei denen es zwei Ergebnisse gibt. Ein Beispiel dafür ist, ob Republikaner oder Demokraten die Wahl gewinnen würden.

Binomialverteilungsformel in Excel (mit Excel-Vorlage)

Saurabh lernte in der Schule die Binomialverteilungsgleichung kennen. Er möchte das Konzept mit seiner Schwester besprechen und eine Wette mit ihr abschließen. Er dachte, dass er zehnmal eine unbefangene Münze werfen würde. Er möchte 100 $ darauf setzen, genau 5 Schwänze in 10 Würfen zu bekommen. Für diese Wette möchte er die Wahrscheinlichkeit berechnen, genau 5 Schwänze in 10 Würfen zu erhalten.

Lösung: Wir müssen zuerst herausfinden, was n, p und x ist.

Es gibt eine eingebaute Formel für die Binomialverteilung: Excel

Es ist BINOM.DIST (Anzahl der Erfolge, Versuche, Erfolgswahrscheinlichkeit, FALSE).

Für dieses Beispiel der Binomialverteilung wäre:

= BINOM.DIST (B2, B3, B4, FALSE) wobei Zelle B2 die Anzahl der Erfolge darstellt, Zelle B3 die Anzahl der Versuche darstellt und Zelle B4 die Erfolgswahrscheinlichkeit darstellt.

Daher wird die Berechnung der Binomialverteilung

P (x = 5) = 0,24609375

Die Wahrscheinlichkeit, genau 5 Schwänze in 10 Würfen zu bekommen, beträgt 0,24609375

Hinweis: FALSE in der obigen Formel bezeichnet die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion. Es berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass es genau n Erfolge aus n unabhängigen Versuchen gibt. TRUE bezeichnet die kumulative Verteilungsfunktion. Es berechnet die Wahrscheinlichkeit von höchstens x Erfolgen aus n unabhängigen Versuchen.