Exponentialverteilung

Was ist Exponentialverteilung?

Die Exponentialverteilung bezieht sich auf die kontinuierliche und konstante Wahrscheinlichkeitsverteilung, die tatsächlich verwendet wird, um den Zeitraum zu modellieren, den eine Person warten muss, bevor das gegebene Ereignis eintritt, und diese Verteilung ist ein kontinuierliches Gegenstück zu einer geometrischen Verteilung, die stattdessen unterschiedlich ist.

Exponentialverteilungsformel

Eine kontinuierliche Zufallsvariable x (mit dem Skalierungsparameter λ> 0) soll nur dann eine Exponentialverteilung haben, wenn ihre Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion durch Multiplizieren des Skalierungsparameters mit der Exponentialfunktion des Minus-Skalierungsparameters und x für alle x größer als oder ausgedrückt werden kann gleich Null, andernfalls ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion gleich Null.

Mathematisch wird die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion dargestellt als:

so dass der Mittelwert gleich 1 / λ und die Varianz gleich 1 / λ2 ist.

Berechnung der Exponentialverteilung (Schritt für Schritt)

  • Schritt 1: Versuchen Sie zunächst herauszufinden, ob das betrachtete Ereignis kontinuierlich und unabhängig ist und mit einer ungefähr konstanten Rate auftritt. Jedes praktische Ereignis stellt sicher, dass die Variable größer oder gleich Null ist.
  • Schritt 2: Bestimmen Sie als Nächstes den Wert des Skalenparameters, der immer der Kehrwert des Mittelwerts ist.
    • λ = 1 / Mittelwert
  • Schritt 3: Als nächstes multiplizieren Sie den Skalenparameter λ und die Variable x und berechnen dann die Exponentialfunktion des Produkts multipliziert mit minus eins, dh e– λ * x.
  • Schritt 4: Schließlich wird die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion durch Multiplizieren der Exponentialfunktion und des Skalierungsparameters berechnet.

Wenn die obige Formel für alle x gilt, die größer oder gleich Null sind, ist x eine Exponentialverteilung.

Beispiel

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Nehmen wir das Beispiel x, das die Zeit (in Minuten) ist, die ein Büro-Peon benötigt, um vom Schreibtisch des Managers zum Schreibtisch des Angestellten zu liefern. Es wird angenommen, dass die Funktion der benötigten Zeit eine Exponentialverteilung mit einer durchschnittlichen Zeitdauer von fünf Minuten aufweist.

Vorausgesetzt, x ist eine kontinuierliche Zufallsvariable, da die Zeit gemessen wird.

Durchschnitt, μ = 5 Minuten

Daher ist der Skalenparameter λ = 1 / μ = 1/5 = 0,20

Daher kann die Exponentialverteilungswahrscheinlichkeitsfunktion abgeleitet werden als:

f (x) = 0,20 e - 0,20 * x

Berechnen Sie nun die Wahrscheinlichkeitsfunktion bei verschiedenen Werten von x , um die Verteilungskurve abzuleiten.

Für x = 0

Exponentialverteilungswahrscheinlichkeitsfunktion für x = 0 wird sein,

Berechnen Sie in ähnlicher Weise die Exponentialverteilungswahrscheinlichkeitsfunktion für x = 1 bis x = 30

  • Für x = 0 ist f (0) = 0,20 e - 0,20 * 0 = 0,200
  • Für x = 1 ist f (1) = 0,20 e - 0,20 * 1 = 0,164
  • Für x = 2 ist f (2) = 0,20 e - 0,20 * 2 = 0,134
  • Für x = 3 ist f (3) = 0,20 e -0,20 * 3 = 0,110
  • Für x = 4 ist f (4) = 0,20 e - 0,20 · 4 = 0,090
  • Für x = 5 ist f (5) = 0,20 e - 0,20 * 5 = 0,074
  • Für x = 6 ist f (6) = 0,20 e - 0,20 · 6 = 0,060
  • Für x = 7 ist f (7) = 0,20 e - 0,20 * 7 = 0,049
  • Für x = 8 ist f (8) = 0,20 e - 0,20 * 8 = 0,040
  • Für x = 9 ist f (9) = 0,20 e - 0,20 · 9 = 0,033
  • Für x = 10 ist f (10) = 0,20 e - 0,20 · 10 = 0,027
  • Für x = 11 ist f (11) = 0,20 e -0,20 * 11 = 0,022
  • Für x = 12 ist f (12) = 0,20 e -0,20 * 12 = 0,018
  • Für x = 13 ist f (13) = 0,20 e -0,20 * 13 = 0,015
  • Für x = 14 ist f (14) = 0,20 e - 0,20 * 14 = 0,012
  • Für x = 15 ist f (15) = 0,20 e -0,20 * 15 = 0,010
  • Für x = 16 ist f (16) = 0,20 e - 0,20 · 16 = 0,008
  • Für x = 17 ist f (17) = 0,20 e - 0,20 * 17 = 0,007
  • Für x = 18 ist f (18) = 0,20 e -0,20 * 18 = 0,005
  • Für x = 19 ist f (19) = 0,20 e -0,20 * 19 = 0,004
  • Für x = 20 ist f (20) = 0,20 e - 0,20 · 20 = 0,004
  • Für x = 21 ist f (21) = 0,20 e -0,20 * 21 = 0,003
  • Für x = 22 ist f (22) = 0,20 e -0,20 * 22 = 0,002
  • Für x = 23 ist f (23) = 0,20 e -0,20 * 23 = 0,002
  • Für x = 24 ist f (24) = 0,20 e -0,20 * 24 = 0,002
  • Für x = 25 ist f (25) = 0,20 e -0,20 * 25 = 0,001
  • Für x = 26 ist f (26) = 0,20 e -0,20 * 26 = 0,001
  • Für x = 27 ist f (27) = 0,20 e - 0,20 * 27 = 0,001
  • Für x = 28 ist f (28) = 0,20 e -0,20 * 28 = 0,001
  • Für x = 29 ist f (29) = 0,20 e -0,20 * 29 = 0,001
  • Für x = 30 ist f (30) = 0,20 e -0,20 * 30 = 0,000

Wir haben die Verteilungskurve wie folgt abgeleitet:

Relevanz und Verwendung

Obwohl die Annahme einer konstanten Rate in den realen Szenarien sehr selten erfüllt ist, kann die Exponentialverteilung als gutes Näherungsmodell verwendet werden, wenn das Zeitintervall so gewählt wird, dass die Rate ungefähr konstant ist. Es hat viele andere Anwendungen auf dem Gebiet der Physik, Hydrologie usw.

In der Statistik und der Wahrscheinlichkeitstheorie bezieht sich der Ausdruck der Exponentialverteilung auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung, mit der die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen definiert wird, die unabhängig und kontinuierlich mit einer konstanten Durchschnittsrate auftreten. Es ist eine der am häufigsten verwendeten kontinuierlichen Verteilungen und steht in engem Zusammenhang mit der Poisson-Verteilung in Excel.