Zentraler Grenzwertsatz

Definition des zentralen Grenzwertsatzes

Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass sich die Zufallsstichproben einer Populations-Zufallsvariablen mit einer beliebigen Verteilung mit zunehmender Stichprobengröße einer normalen Wahrscheinlichkeitsverteilung annähern und dass der Mittelwert mit einer Stichprobengröße in der Grundgesamtheit von 30 den Mittelwert überschreitet der Stichprobe, deren Durchschnitt aller Beobachtungen für die Stichprobe nahezu dem Durchschnitt der Bevölkerung entspricht.

Formel des zentralen Grenzwertsatzes

Wir haben bereits diskutiert, dass die Verteilung die Form einer Normalverteilung annimmt, wenn die Stichprobengröße 30 überschreitet. Für die Bestimmung der Normalverteilung einer Variablen ist es wichtig, ihren Mittelwert und ihre Varianz zu kennen. Eine Normalverteilung kann angegeben werden als

X ~ N (u, α)

Wo

• N = Anzahl der Beobachtungen
• µ = Mittelwert der Beobachtungen
• α = Standardabweichung

In den meisten Fällen zeigen die Beobachtungen in ihrer Rohform nicht viel. Es ist daher sehr wichtig, die Beobachtungen zu standardisieren, um dies vergleichen zu können. Dies geschieht mit Hilfe des Z-Scores. Es ist erforderlich, den Z-Score für eine Beobachtung zu berechnen. Die Formel zur Berechnung des Z-Scores lautet

Z = (X - µ) / α / √n

Wo

• Z = Z-Score der Beobachtungen
• µ = Mittelwert der Beobachtungen
• α = Standardabweichung
• n = Stichprobengröße

Erläuterung

Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass sich die Zufallsstichproben einer Populations-Zufallsvariablen mit einer beliebigen Verteilung mit zunehmender Stichprobengröße einer normalen Wahrscheinlichkeitsverteilung annähern. Der zentrale Grenzwertsatz geht davon aus, dass der Mittelwert der Stichprobe, bei dem der Durchschnitt aller Beobachtungen für die Stichprobe nahe am Durchschnitt der Bevölkerung liegt, bei einer Stichprobengröße von mehr als 30 liegt. Auch die Standardabweichung der Stichprobe, wenn die Größe der Stichprobe 30 überschreitet, entspricht der Standardabweichung der Grundgesamtheit. Da die Stichprobe zufällig aus der Gesamtpopulation ausgewählt wird und die Stichprobengröße mehr als 30 beträgt, hilft dies beim Testen von Hypothesen und beim Erstellen des Konfidenzintervalls für das Testen von Hypothesen.

Beispiele für die Formel des zentralen Grenzwertsatzes (mit Excel-Vorlage)

Sie können diese Excel-Vorlage für den zentralen Grenzwertsatz hier herunterladen - die Excel-Vorlage für den zentralen Grenzwertsatz

Beispiel 1

Lassen Sie uns das Konzept einer Normalverteilung anhand eines Beispiels verstehen. Die durchschnittliche Rendite eines Investmentfonds beträgt 12%, und die Standardabweichung von der durchschnittlichen Rendite der Investmentfonds beträgt 18%. Wenn wir davon ausgehen, dass die Verteilung der Rendite normal verteilt ist, lassen Sie uns die Verteilung für die Rendite bei der Anlage des Investmentfonds interpretieren.

Gegeben,

• Die durchschnittliche Rendite für die Investition beträgt 12%
• Die Standardabweichung beträgt 18%

Um die Rendite für ein 95% -Konfidenzintervall herauszufinden, können wir sie herausfinden, indem wir die Gleichung als lösen

• Oberer Bereich = 12 + 1,96 (18) = 47%
• Unterer Bereich = 12 - 1,96 (18) = -23% 

Das Ergebnis zeigt, dass die Rendite des Investmentfonds in 95% der Fälle zwischen 47% und -23% liegt. In diesem Beispiel liefert die Stichprobengröße, die die Rendite einer Zufallsstichprobe mit mehr als 30 Beobachtungen der Rendite darstellt, das Ergebnis für die Bevölkerungsrendite des Investmentfonds, da die Stichprobenverteilung normal verteilt wird.

Beispiel 2

Fahren wir mit demselben Beispiel fort und bestimmen wir, was das Ergebnis für ein 90% -Konfidenzintervall sein wird

Gegeben,

• Die durchschnittliche Rendite für die Investition beträgt 12%
• Die Standardabweichung beträgt 18%

Um die Rendite für ein 90% -Konfidenzintervall herauszufinden, können wir sie herausfinden, indem wir die Gleichung als lösen

• Oberer Bereich = 12 + 1,65 (18) = 42%
• Unterer Bereich = 12 - 1,65 (18) = -18%

Das Ergebnis zeigt, dass die Rendite des Investmentfonds in 90% der Fälle im Bereich von 42% bis -18% liegt.

Beispiel 3

Wenn wir mit demselben Beispiel fortfahren, bestimmen wir, was das Ergebnis für ein 99% -Konfidenzintervall sein wird

Gegeben,

• Die durchschnittliche Rendite für die Investition beträgt 12%
• Die Standardabweichung beträgt 18%

Um die Rendite für ein 90% -Konfidenzintervall herauszufinden, können wir sie herausfinden, indem wir die Gleichung als lösen

• Oberer Bereich = 12 + 2,58 (18) = 58%
• Unterer Bereich = 12 - 2,58 (18) = -34% 

Das Ergebnis zeigt, dass die Rendite des Investmentfonds in 99% der Fälle im Bereich von 58% bis -34% liegt.

Relevanz und Verwendung

Der zentrale Grenzwertsatz ist äußerst nützlich, da er es dem Forscher ermöglicht, den Mittelwert und die Standardabweichung der gesamten Population mithilfe der Stichprobe vorherzusagen. Da die Stichprobe zufällig aus der Gesamtpopulation ausgewählt wird und die Stichprobengröße mehr als 30 beträgt, nähert sich jede aus der Population entnommene Zufallsstichprobengröße einer normalen Verteilung, was beim Testen der Hypothese und beim Erstellen des Konfidenzintervalls für die Hypothese hilfreich ist testen. Auf der Grundlage des zentralen GrenzwertsatzesDer Forscher kann eine beliebige Zufallsstichprobe aus der Gesamtpopulation auswählen. Wenn die Stichprobengröße mehr als 30 beträgt, kann er die Population mithilfe der Stichprobe vorhersagen, da die Stichprobe einer Normalverteilung folgt und auch als Mittelwert und Die Standardabweichung der Stichprobe entspricht dem Mittelwert und der Standardabweichung der Grundgesamtheit.