Was ist die effektive Jahresrate (EAR)?
Der effektive Jahreszinssatz (EAR) ist der Zinssatz, der nach einer Aufzinsung über einen bestimmten Zeitraum tatsächlich für Investitionen verdient oder für das Darlehen gezahlt wurde. Er wird verwendet, um Finanzprodukte mit verschiedenen Aufzinsungszeiträumen zu vergleichen, dh wöchentlich, monatlich, jährlich usw. Als Aufzinsungszeiträume erhöht werden, erhöht sich die EAR.
Formel
Die EAR wird wie folgt berechnet:
Effektive Jahresrate = (1 + i / n) n - 1
- Wobei n = Anzahl der Zinsperioden
- i = Nominalzins oder gegebener Jahreszinssatz
Die EAR entspricht nur dann dem Nominalzins, wenn die Aufzinsung jährlich erfolgt. Mit zunehmender Anzahl von Zinsperioden steigt die EAR. Wenn es sich um eine kontinuierliche Compoundierungsformel handelt, lautet die EAR wie folgt:
Effektive Jahresrate (bei kontinuierlicher Aufzinsung) = ei -
Daher hängt die Berechnung der effektiven Jahresrate von zwei Faktoren ab:
- Der nominale Zinssatz
- Die Anzahl der Zinsperioden
Die Anzahl der Zinsperioden ist der Hauptfaktor, da die EAR mit der Anzahl der Perioden zunimmt.
Wie man rechnet?
Beispiel 1
Betrachten wir das folgende Beispiel:
Betrachten Sie einen Nominalzins von 12%. Berechnen wir die effektive Jahresrate, wenn die Aufzinsung jährlich, halbjährlich, vierteljährlich, monatlich, wöchentlich, täglich und kontinuierlich erfolgt.
Jährliche Aufzinsung:
- EAR = (1 + 12% / 1) 1 - 1 = 12%
Halbjährliches Compoundieren:
- EAR = (1 + 12% / 2) 2 - 1 = 12,36%
Vierteljährliche Aufzinsung:
- EAR = (1 + 12% / 4) 4 - 1 = 12,55%
Monatliche Aufzinsung:
- EAR = (1 + 12% / 12) 12-1 = 12,68%
Wöchentliche Aufzinsung:
- EAR = (1 + 12% / 52) 52-1 = 12,73%
Tägliches Compoundieren:
- EAR = (1 + 12% / 365) 365 - 1 = 12,747%
Kontinuierliches Mischen:
- EAR = e12% - 1 = 12,749%
Wie aus dem obigen Beispiel ersichtlich ist, ist die Berechnung der effektiven Jahresrate am höchsten, wenn sie kontinuierlich zusammengesetzt wird, und am niedrigsten, wenn die Aufzinsung jährlich erfolgt.
Beispiel 2
Die Berechnung ist wichtig, wenn zwei verschiedene Investitionen verglichen werden. Betrachten wir den folgenden Fall.
Ein Anleger verfügt über 10.000 USD, die er in ein Finanzinstrument A mit einem jährlichen Zinssatz von 10% halbjährlich oder in ein Finanzinstrument B mit einem monatlichen Zinssatz von 8% pro Monat investieren kann. Wir müssen herausfinden, welches Finanzinstrument für den Anleger besser ist und warum?
Um herauszufinden, welches Instrument besser ist, sollten wir den Betrag ermitteln, den er nach einem Jahr aus jeder Investition erhält:
Betrag nach einem Jahr in Investition A = P * (1 + i / n) n
Wobei P der Kapitalbetrag ist, ist I der Nominalzins und n ist die Anzahl der Zinsperioden, die in diesem Fall 2 beträgt
- Daher ist der Betrag nach einem Jahr in die Investition A = 10000 * (1 + 10% / 2) 2 A = 11025 USD
Betrag nach einem Jahr in Investition B = P * (1 + i / n) n
Wobei P der Kapitalbetrag ist, I der Nominalzins ist und n die Anzahl der Zinsperioden ist, die in diesem Fall 12 beträgt
- Betrag nach einem Jahr in Investition A = 10000 * (1 + 8% / 12) 12 = B = 10830 USD
In diesem Fall ist Investition A eine bessere Option für den Anleger, da der nach einem Jahr verdiente Betrag mehr in Investition A fließt.
Wenn die Zinsen zusammengesetzt werden, führt dies in den Folgeperioden zu höheren Zinsen, wobei die höchsten in der letzten Periode liegen. Bisher haben wir die Gesamtbeträge zum Jahresende berücksichtigt.
Beispiel 3
Sehen wir uns das folgende Beispiel an, um am Ende jeder Periode Interesse zu finden.
Ein Finanzinstrument hatte eine Anfangsinvestition von 5000 USD mit einer jährlichen Rate von 15%, die vierteljährlich berechnet wurde. Berechnen wir die vierteljährlichen Zinsen für die Investition.
Der Zinssatz wird vierteljährlich berechnet, daher der Zinssatz für jedes Quartal = 15% / 4 = 3,75%
Im ersten Quartal verdiente Zinsen = P (1 + i / n) n - P = 5000 * (1 + 15% / 4) - 5000 = 187,5 USD
- Jetzt beträgt der neue Kapitalbetrag 5000 + 187,5 = 5187,5 USD
Somit sind die im zweiten Quartal verdienten Zinsen = P (1 + i / n) n - P = 5187,5 * (1 + 15% / 4) - 5187,5 = 194,53 USD
- Jetzt ist der neue Principal 5187,5+ 194,53 = 5382,03 USD
Somit sind die im dritten Quartal verdienten Zinsen = P (1 + i / n) n - P = 5382,03 * (1 + 15% / 4) - 5382,03 = 201,82 USD
- Jetzt ist der neue Auftraggeber 5382,03+ 201,82 = 5583,85 USD
Somit sind die im vierten Quartal verdienten Zinsen = P (1 + i / n) n - P = 5583,85 * (1 + 15% / 4) - 5583,85 = 209,39 USD
- Daher beträgt der endgültige Betrag nach einem Jahr 5583,85 + 209,39 = 5793,25 USD
Aus dem obigen Beispiel haben wir gesehen, dass die im vierten Quartal verdienten Zinsen am höchsten sind.
Fazit
Der effektive Jahreszinssatz ist der tatsächliche Zinssatz, den der Anleger mit seiner Investition verdient oder der Kreditnehmer an den Kreditgeber zahlt. Dies hängt von der Anzahl der Zinsperioden und dem Nominalzins ab. Die EAR erhöht sich, wenn sich die Anzahl der Aufzinsungsperioden bei gleicher Nominalrate erhöht, am höchsten, wenn die Aufzinsung kontinuierlich durchgeführt wird.
