Z Testformel in der Statistik | Schritt für Schritt Berechnung (Beispiele)

Formel zur Berechnung des Z-Tests in der Statistik

Der Z-Test in der Statistik bezieht sich auf den Hypothesentest, mit dem ermittelt wird, ob die beiden berechneten Stichprobenmittelwerte unterschiedlich sind, falls die Standardabweichungen verfügbar sind und die Stichprobe groß ist.

Z = (x - μ) / ơ

Dabei ist x = ein beliebiger Wert aus der Grundgesamtheit

μ = Populationsmittelwert
ơ = Populationsstandardabweichung

Im Fall einer Stichprobe wird die Formel für die Z-Test-Wertstatistik berechnet, indem der Stichprobenmittelwert vom x-Wert abgezogen wird. Anschließend wird das Ergebnis durch die Standardabweichung der Stichprobe geteilt. Mathematisch wird es dargestellt als,

Z = (x - x_mean ) / s

x = beliebiger Wert aus der Stichprobe
x_mean = Stichprobenmittelwert
s = Standardabweichung der Probe

Z-Testberechnung (Schritt für Schritt)

Die Formel für Z-Test-Statistiken für eine Population wird mithilfe der folgenden Schritte abgeleitet:

Schritt 1: Berechnen Sie zunächst den Populationsmittelwert und die Populationsstandardabweichung basierend auf der im Populationsmittelwert erfassten Beobachtung, und jede Beobachtung wird mit x _{i bezeichnet} . Die Gesamtzahl der Beobachtungen in der Bevölkerung wird mit N bezeichnet.

Bevölkerungsdurchschnitt,

Bevölkerungsstandardabweichung,

Schritt 2: Schließlich wird die Z-Test-Statistik berechnet, indem der Populationsmittelwert von der Variablen abgezogen wird, und dann wird das Ergebnis durch die Populationsstandardabweichung geteilt, wie unten gezeigt.

Z = (x - μ) / ơ

Die Formel für die Z-Test-Statistik für eine Stichprobe wird mithilfe der folgenden Schritte abgeleitet:

Schritt 1: Berechnen Sie zunächst den Stichprobenmittelwert und die Stichprobenstandardabweichung wie oben. Hier wird die Gesamtzahl der Beobachtungen in der Stichprobe mit n bezeichnet, so dass n <N ist.

Stichprobenmittelwert,

Standardabweichung der Probe,

Schritt 2: Schließlich wird die Z-Test-Statistik berechnet, indem der Stichprobenmittelwert vom x-Wert abgezogen wird. Anschließend wird das Ergebnis durch die Standardabweichung der Stichprobe geteilt, wie unten gezeigt.

Z = (x - x_mean ) / s

Beispiele

Sie können diese Z-Testformel-Excel-Vorlage hier herunterladen - Z-Testformel-Excel-Vorlage

Beispiel 1

Nehmen wir eine Population von Schülern einer Schule an, die zu einem Klassentest erschienen sind. Die mittlere Punktzahl im Test beträgt 75 und die Standardabweichung 15. Bestimmen Sie die Z-Test-Punktzahl von David, der im Test 90 Punkte erzielte.

Gegeben,

Der Populationsmittelwert μ = 75
Populationsstandardabweichung, ơ = 15

Daher kann die Z-Test-Statistik wie folgt berechnet werden:

Z = (90 - 75) / 15

Z Teststatistik wird -

Z = 1

Daher ist Davids Testergebnis eine Standardabweichung über dem Durchschnittswert der Bevölkerung, dh gemäß Z-Score-Tabelle 84,13% der Schüler weniger als David.

Beispiel 2

Nehmen wir das Beispiel von 30 Studenten, die als Teil eines Probenteams ausgewählt wurden, um zu sehen, wie viele Stifte in einer Woche verwendet wurden. Bestimmen Sie die Z-Test-Punktzahl für den 3. Schüler anhand der angegebenen Antworten: 3, 2, 5, 6, 4, 7, 4, 3, 3, 8, 3, 1, 3, 6, 5, 2, 4 , 3, 6, 4, 5, 2, 2, 4, 4, 2, 8, 3, 6, 7.

Gegeben,

x = 5, da die Antwort des 3. Schülers 5 ist
Probengröße, n = 30

Stichprobenmittelwert = (3 + 2 + 5 + 6 + 4 + 7 + 4 + 3 + 3 + 8 + 3 + 1 + 3 + 6 + 5 + 2 + 4 + 3 + 6 + 4 + 5 + 2 + 2 + 4 + 4 + 2 + 8 + 3 + 6 + 7) / 30

Mittelwert = 4,17

Jetzt kann die Standardabweichung der Stichprobe unter Verwendung der obigen Formel berechnet werden.

ơ = 1,90

Daher kann die Z-Test-Punktzahl für den 3. Schüler wie folgt berechnet werden:

Z = (x - x) / s

Z = (5–17) / 1,90
Z = 0,44

Daher beträgt die Verwendung des 3. Schülers das 0,44-fache der Standardabweichung über der durchschnittlichen Verwendung der Stichprobe, dh gemäß der Z-Score-Tabelle verwenden 67% der Schüler weniger Stifte als der 3. Schüler.

Beispiel 3

Nachfolgend finden Sie Daten zur Berechnung der Z-Teststatistik

Die detaillierte Berechnung der Z-Teststatistik finden Sie in der unten angegebenen Excel-Tabelle.

Relevanz und Verwendung

Es ist sehr wichtig, das Konzept der Z-Test-Statistik zu verstehen, da es normalerweise immer dann verwendet wird, wenn es fraglich ist, ob eine Teststatistik einer Normalverteilung unter der betreffenden Nullhypothese folgt oder nicht. Es ist jedoch zu beachten, dass ein Z-Test nur verwendet wird, wenn die Stichprobengröße größer als 30 ist, andernfalls wird der T-Test verwendet.