Z Score Formel

Formel zur Berechnung des Z-Scores

Der Z-Score der Rohdaten bezieht sich auf den Score, der durch Messen der Anzahl der Standardabweichungen über oder unter dem Populationsmittelwert der Daten generiert wird, was beim Testen der betrachteten Hypothese hilfreich ist. Mit anderen Worten, es ist der Abstand eines Datenpunkts vom Populationsmittelwert, der als Vielfaches der Standardabweichung ausgedrückt wird.

  • Die Z-Scores variieren im Bereich des -3-fachen der Standardabweichung (ganz links von der Normalverteilung) bis zum +3-fachen der Standardabweichung (ganz rechts von der Normalverteilung).
  • Die Z-Scores haben einen Mittelwert von 0 und eine Standardabweichung von 1.

Die Gleichung für den Z-Score eines Datenpunkts wird berechnet, indem der Populationsmittelwert vom Datenpunkt (als x bezeichnet ) subtrahiert wird, und dann wird das Ergebnis durch die Populationsstandardabweichung geteilt. Mathematisch wird es dargestellt als,

Z Score = (x - μ) / ơ

wo

  • x = Datenpunkt
  • μ = Mittelwert
  • ơ = Standardabweichung

Berechnung des Z-Scores (Schritt für Schritt)

Die Gleichung für den Z-Score eines Datenpunkts kann unter Verwendung der folgenden Schritte abgeleitet werden:

  • Schritt 1: Bestimmen Sie zunächst den Mittelwert des Datensatzes anhand der Datenpunkte oder Beobachtungen, die mit x i bezeichnet sind , während die Gesamtzahl der Datenpunkte im Datensatz mit N bezeichnet wird.

  • Schritt 2: Bestimmen Sie als nächstes die Standardabweichung der Population auf der Grundlage des Populationsmittelwerts μ, der Datenpunkte x i und der Anzahl der Datenpunkte in der Population N.

  • Schritt 3: Schließlich wird der Z-Score durch Subtrahieren des Mittelwerts vom Datenpunkt abgeleitet und das Ergebnis durch die Standardabweichung geteilt, wie unten gezeigt.

Beispiele

Sie können diese Z Score Formula Excel-Vorlage hier herunterladen - Z Score Formula Excel-Vorlage

Beispiel 1

Nehmen wir das Beispiel einer Klasse von 50 Schülern, die letzte Woche den Wissenschaftstest geschrieben haben. Heute ist der Ergebnistag und der Klassenlehrer sagte, dass John im Test 93 Punkte erzielte, während die durchschnittliche Punktzahl der Klasse 68 betrug. Bestimmen Sie den Z-Score für Johns Testnote, wenn die Standardabweichung 13 beträgt.

Lösung:

Gegeben,

  • Johns Testergebnis, x = 93
  • Mittelwert μ = 68
  • Standardabweichung, ơ = 13

Daher kann der Z-Score für Johns Test-Score unter Verwendung der obigen Formel berechnet werden als:

Z = (93 - 68) / 13

Z Score wird sein -

Z-Punktzahl = 1,92

Daher liegt Johns Ztest-Punktzahl 1,92 Standardabweichung über der durchschnittlichen Punktzahl der Klasse, was bedeutet, dass 97,26% der Klasse (49 Schüler) weniger Punkte erzielten als John.

Beispiel 2

Nehmen wir ein weiteres detailliertes Beispiel von 30 Schülern (da der Z-Test nicht für weniger als 30 Datenpunkte geeignet ist), die für einen Klassentest erschienen sind. Bestimmen Sie die Z-Test-Punktzahl für den 4. Schüler anhand der von den Schülern erzielten Noten von 100 - 55, 67, 84, 65, 59, 68, 77, 95, 88, 78, 53, 81, 73, 66 65, 52, 54, 83, 86, 94, 85, 72, 62, 64, 74, 82, 58, 57, 51, 91.

Lösung:

Gegeben,

  • x = 65,
  • 4. Schüler erzielte = 65,
  • Anzahl der Datenpunkte, N = 30.

Mittelwert = (55 + 67 + 84 + 65 + 59 + 68 + 77 + 95 + 88 + 78 + 53 + 81 + 73 + 66 + 65 + 52 + 54 + 83 + 86 + 94 + 85 + 72 + 62 + 64 + 74 + 82 + 58 + 57 + 51 + 91) / 30

Mittelwert = 71,30

Jetzt kann die Standardabweichung unter Verwendung der folgenden Formel berechnet werden:

ơ = 13,44

Daher kann der Z-Score des 4. Schülers unter Verwendung der obigen Formel berechnet werden als:

Z = (x - x) / s

  • Z = (65–30) / 13,44
  • Z = -0,47

Daher liegt die Punktzahl des 4. Schülers um 0,47 Standardabweichung unter der Durchschnittspunktzahl der Klasse, was bedeutet, dass 31,92% der Klasse (10 Schüler) gemäß der Z-Score-Tabelle weniger Punkte erzielten als der 4. Schüler.

Z-Punktzahl in Excel (mit Excel-Vorlage)

Nehmen wir nun den in Beispiel 2 erwähnten Fall, um das Konzept des Z-Scores in der folgenden Excel-Vorlage zu veranschaulichen.

Nachfolgend finden Sie Daten zur Berechnung des Z-Werts

Die detaillierte Berechnung der Z-Score-Formelteststatistik finden Sie in der unten angegebenen Excel-Tabelle.

Relevanz und Verwendung

Aus der Perspektive des Hypothesentests ist der Z-Score ein sehr wichtiges Konzept, da er verwendet wird, um zu testen, ob eine Teststatistik in den akzeptablen Wertebereich fällt oder nicht. Der Z-Score wird auch verwendet, um Daten vor der Analyse zu standardisieren, die Wahrscheinlichkeit eines Scores zu berechnen oder zwei oder mehr Datenpunkte zu vergleichen, die aus unterschiedlichen Normalverteilungen stammen. Es gibt die vielfältige Anwendung von Z-Score über Felder hinweg, wenn es richtig angewendet wird.